Cálculo Ejemplos

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (π x)$ . Entonces $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (π x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \sin (π x) π$

Paso 1.1.3.3.2

Reordena los factores de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{π}$ y $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 5

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$