Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) \sin (\sin (3 x)) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{3} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{3}$ y $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{3} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Paso 6

Evalúa $- \cos (u_{2})$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((- \cos (1)) + \cos (0))$

Paso 7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (1) + 1)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$\frac{1}{3} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $0.5403023$ .

$\frac{1}{3} (- 0.5403023 + 1)$

Paso 8.3

Suma $- 0.5403023$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.45969769$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{3}$

Paso 8.5

Divide $0.45969769$ por $3$ .

$0.15323256$