Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Paso 3

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Paso 4

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{3 π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Paso 6.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Paso 6.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 6.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Paso 6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{3}{2}$

Paso 6.7

Multiplica $- - \frac{3}{2}$ .

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Paso 6.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Paso 6.7.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{2}$