Cálculo Ejemplos

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ y $d v = 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $u_{1}$ y $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $u_{1}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 5.2

Multiplica $\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ por $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Paso 7

Divide $u_{1} - 4$ por $u_{1} - 2$ .

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Paso 7.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

Paso 7.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $u_{1}$ por el término de mayor orden en el divisor $u_{1}$ .

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

Paso 7.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

Paso 7.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u_{1} - 2$ .

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

Paso 7.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

Paso 7.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

Paso 12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Paso 13

Sea $u_{2} = u_{1} - 2$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = u_{1} - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Paso 13.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} - 2$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Paso 13.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 13.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 15.2

Reescribe $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ como $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.3

Simplifica.

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Paso 15.3.1

Para escribir $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.3.2

Combina $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} - 2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Paso 17.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Paso 17.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Paso 17.4

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$