Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Paso 1.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 1$ y en $0$ .

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- 1} - 1)$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- (e^{- 1} - 1)$

Forma decimal:

$0.63212055 \dots$