Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x + 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x + 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Sea $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 4

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$