Cálculo Ejemplos

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ como $u - 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$