Cálculo Ejemplos

$\int x^{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ como $u - 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(u - 1)}^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.2

Combina $u$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 3.7

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 4

Reescribe $- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ como $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.2

Reescribe $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{15} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$