Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\ln (| \sec (u) |)$ en $\frac{π}{4}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

Paso 3.2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ es aproximadamente $1.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.2.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.2.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

Paso 3.3.2.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

Paso 3.3.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

Paso 3.3.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

Paso 3.3.2.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.2.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Paso 3.3.2.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Paso 3.3.2.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Paso 3.3.2.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Paso 3.3.2.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

Paso 3.3.2.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

Paso 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es aproximadamente $1.15470053$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

Paso 3.3.4

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

Paso 3.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 4.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Paso 4.2.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Paso 4.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Paso 4.2.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Paso 4.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Paso 4.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

Paso 4.2.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 4.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 4.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

Paso 4.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$