Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $\frac{1}{2}$ y en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Eleva $\frac{1}{2}$ a la potencia de $1$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Paso 5.2

Suma $1$ y $2$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Forma decimal:

$0.125$