Cálculo Ejemplos

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Paso 1.3

Resta $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Paso 1.5

Resta $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.7

Reordena $u^{\frac{3}{2}}$ y $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.3.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.5

Suma $\frac{2}{3}$ y $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 8.6.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.6.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.6.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.7

Simplifica la expresión.

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Paso 8.7.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.7.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.8

Simplifica.

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Paso 8.8.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 8.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 8.8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.8.3.1

Cancela el factor común.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 8.8.3.2

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Paso 8.8.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Paso 8.9

Simplifica.

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Paso 8.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Paso 8.9.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Paso 8.10

Suma $\frac{2}{5}$ y $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Paso 8.11

Simplifica.

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Paso 8.11.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Paso 8.11.2

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Paso 8.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Paso 8.11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.11.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Paso 8.11.4.2

Suma $10$ y $2$ .

$\frac{12}{5}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{12}{5}$

Forma decimal:

$2.4$

Forma de número mixto:

$2 \frac{2}{5}$