Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 3$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Paso 1.3.2

Resta $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $9$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Paso 6

Evalúa $- u^{- 1}$ en $6$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Paso 8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Paso 9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Paso 9.3

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{5}{12}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{12}$

Forma decimal:

$0.41\overline{6}$