Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{2} (\frac{x}{4}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{4}$ . Entonces $d u = \frac{1}{4} d x$ , de modo que $4 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Paso 2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec^{2} (u)$ .

$\int 4 \sec^{2} (u) d u$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$4 \tan (u) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$4 \tan (\frac{x}{4}) + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$4 \tan (\frac{1}{4} x) + C$