Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

Paso 2

Expande ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Paso 2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.8

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.9

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.10

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.14

Suma $2$ y $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.15

Factoriza el negativo.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.16

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.18

Suma $1$ y $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.19

Factoriza el negativo.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.20

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.22

Suma $1$ y $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Paso 2.23

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

Paso 2.24

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

Paso 2.25

Resta $u^{4}$ de $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Paso 5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$