Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

Paso 1

Sea $u = 3 t - 1$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 t - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 3 t - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 3 t - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $u^{50}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{50}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{51} u^{51}$ en $2$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Paso 5.2

Eleva $2$ a la potencia de $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{51}$ y $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

Paso 5.4.2

Simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{51}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

Paso 5.4.3

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

Paso 5.4.3.2

Suma $2251799813685250$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

Paso 5.4.4

Simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

Paso 5.4.4.2

Multiplica $3$ por $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2251799813685251}{153}$

Forma decimal:

$14717645841080.1$