Cálculo Ejemplos

$\int x^{5} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1} - 1}}^{4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1} - 1}}^{4}$ como ${(u_{1} - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1} - 1}$ como ${(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{4}{2}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int {(u_{1} - 1)}^{\frac{2}{1}} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(u_{1} - 1)}^{2}$ .

$\int \frac{{(u_{1} - 1)}^{2}}{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{{(u_{1} - 1)}^{2}}{2}$ y $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{{(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = u_{1} - 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = u_{1} - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} - 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 6

Sea $u_{3} = u_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{3} = u_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} + 1$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe ${(u_{3} - 1)}^{2}$ como $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ .

$\frac{1}{2} \int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 7.2