Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 4}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x - 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = u_{1} + 4$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 4$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Paso 3.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $4$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 4

Sea $u_{3} = u_{2} - 4$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{3} = u_{2} - 4$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} - 4$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Paso 4.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 4)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe ${(u_{3} + 4)}^{2}$ como $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\int (u_{3} + 4) (u_{3} + 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 5.2