Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Paso 1.3

Suma $2$ y $2$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

Paso 1.5

Suma $7$ y $2$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.4.2

Multiplica $2$ por $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.5.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Multiplica $32$ por $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.6.2

Combina $- 32$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.6.3

Multiplica $- 32$ por $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.7.2

Resta $64$ de $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.8

Simplifica.

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Paso 8.8.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.8.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.8.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.8.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9

Simplifica.

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Paso 8.9.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.3

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 8.9.3.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.9.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.9.3.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.10

Simplifica.

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Paso 8.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 8.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 8.10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.10.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 8.10.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 8.10.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Paso 8.11

Simplifica.

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Paso 8.11.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Paso 8.11.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Paso 8.11.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Paso 8.11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Paso 8.12

Simplifica.

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Paso 8.12.1

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 8.12.2

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 8.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Paso 8.12.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.12.4.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Paso 8.12.4.2

Resta $16$ de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Paso 8.13

Simplifica.

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Paso 8.13.1

Combina $- 2$ y $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Paso 8.13.2

Multiplica $- 2$ por $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Paso 8.13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Paso 8.14

Simplifica.

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Paso 8.14.1

Para escribir $\frac{422}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Paso 8.14.2

Para escribir $- \frac{76}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.14.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.14.3.1

Multiplica $\frac{422}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.14.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.14.3.3

Multiplica $\frac{76}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Paso 8.14.3.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Paso 8.14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Paso 8.14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.14.5.1

Multiplica $422$ por $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Paso 8.14.5.2

Multiplica $- 76$ por $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Paso 8.14.5.3

Resta $380$ de $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{886}{15}$

Forma decimal:

$59.0\overline{6}$

Forma de número mixto:

$59 \frac{1}{15}$