Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ como $u - 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u - 1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Expande $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 10.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 12.2

Para escribir $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 12.3

Combina $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Factoriza $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

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Paso 12.5.1.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 12.5.1.2

Factoriza $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 12.5.1.3

Factoriza $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Paso 12.5.1.4

Factoriza $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Paso 12.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Paso 12.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Paso 12.5.3.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1 - 3)}{3} + C$

Paso 12.5.4

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

Paso 12.6

Combinar.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

Paso 12.7

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

Paso 12.8

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{3} + C$

Paso 12.9

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$