Cálculo Ejemplos

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

Paso 2

Expande $({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.9

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.10

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.11

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.13

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.15

Suma $2$ y $42$ .

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.16

Factoriza el negativo.

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.17

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.19

Suma $1$ y $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.20

Factoriza el negativo.

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.21

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.23

Suma $1$ y $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.25

Multiplica $u^{42}$ por $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.26

Resta $u^{43}$ de $- u^{43}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Paso 2.27

Suma $u^{42}$ y $2 u^{42}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{44}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{45} u^{45}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Paso 5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{43}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{44} u^{44}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{42}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{43} u^{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

Paso 11

Combina $3$ y $\frac{1}{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$