Cálculo Ejemplos

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 1) u^{3} d u$

Paso 2

Multiplica $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $u$ por $u^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Multiplica $u$ por $u^{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

Paso 3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

Paso 3.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

Paso 3.2

Reescribe $- 1 u^{3}$ como $- u^{3}$ .

$\int u^{4} - u^{3} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$