Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{-1} (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos^{-1} (x)$ y $d v = 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Paso 2

Combina $x$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\cos^{-1} (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ por $1$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 5.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\cos^{-1} (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\cos^{-1} (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 9.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 9.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 11

Reescribe $\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$