Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Sea $x = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Paso 5

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 11

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Paso 12

Simplifica.

$- t + \tan (t) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$