Cálculo Ejemplos

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Paso 1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.3

Reescribe el polinomio.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Paso 1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $16$ es constante con respecto a $u$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $16 (- u^{- 1} + C)$ como $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Paso 6.2.2

Combina $- 16$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$