Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Paso 1

Sea $u = 4 + r^{2}$ . Entonces $d u = 2 r d r$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 + r^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + r^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4$ con respecto a $r$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 r$ .

$2 r$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{5}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Paso 6

Evalúa $- u^{- 1}$ en $5$ y en $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Paso 7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Paso 8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Paso 9

Suma $- \frac{1}{5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Paso 10

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $0$ .

$0$