Cálculo Ejemplos

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Paso 1

Sea $u = z^{2}$ . Entonces $d u = 2 z d z$ , de modo que $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = z^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 z$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u}}^{6}$ como $u^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{u}}^{8}$ como $u^{4}$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Paso 3

Expande $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Paso 3.2

Reordena $u^{3}$ y $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Paso 3.3

Reordena $u^{3}$ y $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Paso 3.5

Suma $3$ y $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Paso 9.2

Reescribe $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ como $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$