Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Paso 1

Sea $u = 1 + \sin (θ)$ . Entonces $d u = \cos (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \sin (θ)$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Paso 4

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 5

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.4

Suma $2$ y $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forma decimal:

$0.82842712 \dots$