Cálculo Ejemplos

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $7$ y $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Paso 5

Dado que $\frac{7}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{7}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Paso 10.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.1.3.1

Factoriza $8$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Paso 10.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Paso 10.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.4

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.5

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 10.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$