Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{4} (x) d x$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 3

Simplifica.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Paso 8.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 9

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Paso 10

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 10.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 14

Simplifica.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Paso 16

Suma $- 2 \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$