Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 2$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza.

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Paso 1.1.1.4.1

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x^{4} - 4 x$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.1.5.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de tercer orden, se requieren $3$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común de $x^{3} - 4$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4.2.2

Divide $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ por $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.5

Expande $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.6.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

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Paso 1.1.6.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.2.2

Suma $2 x^{3} + 2 x$ y $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.2.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.6.2.4

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $A (x^{3} - 4)$ por $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x^{3} - 4$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B x^{2} + C x + D) (x)$ por $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Paso 1.1.7.6

Simplifica.

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Paso 1.1.7.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Paso 1.1.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.7.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Paso 1.1.7.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Paso 1.1.7.6.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Paso 1.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.7.6.2.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Paso 1.1.7.6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Paso 1.1.8

Mueve $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = D$

Paso 1.2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = - 4 A$

Paso 1.2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la ecuación como $- 4 A = - 2$ .

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3

Divide cada término en $- 4 A = - 2$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.2.3.1

Divide cada término en $- 4 A = - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $- 4$ .

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Paso 1.3.2.3.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.3.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $2 = \frac{1}{2} + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + B = 2$ .

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Suma $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $x$ de $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ .

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Paso 1.5.1.2.1

Factoriza $x$ de $\frac{3}{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.1.2.2

Factoriza $x$ de $0 \cdot x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.1.2.3

Factoriza $x$ de $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.1.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.1.4

Suma $\frac{3 x}{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.2

Combina $x$ y $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{3 x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Paso 1.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Paso 1.5.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Paso 6

Sea $u = x^{3} - 4$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{3} - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 6.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 6.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 7.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$