Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $5$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 5.4.3

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Paso 5.4.3.2

Resta $1$ de $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común de $624$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Factoriza $4$ de $624$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Paso 5.4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Paso 5.4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Paso 5.4.3.3.2.4

Divide $156$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Paso 5.4.4

Simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $156$ .

$\frac{156}{2}$

Paso 5.4.4.2

Cancela el factor común de $156$ y $2$ .

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Paso 5.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $156$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Paso 5.4.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Paso 5.4.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{78}{1}$

Paso 5.4.4.2.2.4

Divide $78$ por $1$ .

$78$