Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ como $u - 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u - 1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Paso 4

Divide $u - 1$ por $u$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $u$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Paso 4.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Paso 11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$