Cálculo Ejemplos

$\int 5 x \sqrt{2 x + 3} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x + 3$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 5 (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica.

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Paso 2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$\int \frac{5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} d u$

Paso 2.1.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

Paso 2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{3}{2}) d u$

Paso 3.2

Reordena $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.8

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

Paso 3.10

Combina $- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3}{2} d u$

Paso 3.11

Combina $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $3$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ como $- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}$ como un producto.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{15}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{15}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{15}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{15}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.2

Reescribe $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{15}{4}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $30$ y $12$ .

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Paso 11.3.4.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 (5)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.4.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$