Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Entonces $d u = - \frac{3}{5} d x$ , de modo que $- \frac{5}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 - \frac{3}{5} x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \frac{3}{5} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Paso 1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{3}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{5} x$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{3}{5}$

Paso 1.1.4

Resta $\frac{3}{5}$ de $0$ .

$- \frac{3}{5}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

Paso 2.4

Combina $\frac{5}{3}$ y $\sqrt{u}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

Paso 4

Dado que $\frac{5}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2

Reescribe $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - \frac{3}{5} x$ .

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$