Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = \ln (x)$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Niega el exponente de $e^{u_{1}}$ y quítalo del denominador.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Paso 2.2.3

Reescribe $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = u_{1}$ y $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ como $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Paso 5.2

Reescribe $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ como $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Suma $- u_{1} e^{u_{2}}$ y $e^{u_{2}} u_{1}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reordena $e^{u_{2}}$ y $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Paso 5.3.1.2

Suma $- u_{1} e^{u_{2}}$ y $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $C$ .

$C$