Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Entonces $d u = (6 x + 12) d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $6 x + 12$ y $0$ .

$6 x + 12$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $3$ y $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Paso 1.5.3

Suma $15$ y $1$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Paso 2

Combina $u^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $16$ y en $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.3.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 5.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Paso 5.5.2

Resta $2$ de $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Paso 5.5.3

Cancela el factor común de $126$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Factoriza $3$ de $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Paso 5.5.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Paso 5.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Paso 5.5.3.2.4

Divide $42$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Paso 5.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $42$ .

$\frac{42}{6}$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común de $42$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Paso 5.6.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Paso 5.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Paso 5.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1}$

Paso 5.6.2.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$7$