Cálculo Ejemplos

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Entonces $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$