Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , de modo que $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = {u_{2}}^{2}$ y $d v = e^{3 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 5.2

Combina ${u_{2}}^{2}$ y $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Paso 7.2

Combina $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ y $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

Paso 7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ como $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ y $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.3.4

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.3.5

Combina ${u_{2}}^{2}$ y $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

Paso 9.3.6

Resta $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ de $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ .

$0 + C$

Paso 9.3.7

Suma $0$ y $C$ .

$C$