Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 2.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 2.1.5.2.2

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 u^{2} d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} + C$