Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x + 2$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ y $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , de modo que $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \frac{2}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u_{2}$

Paso 6.3

Mueve $3$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int 3 {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (3 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 8.3

Multiplica $\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 9

Sea $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Entonces $d u_{3} = 3 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $3 u_{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2} + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 u_{2} + 2$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $3 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Paso 9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 9.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 10.2

Combina $\frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ y ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} d u_{3}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ como $(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Paso 12.2