Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Paso 3

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 4

Multiplica $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 5.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Paso 5.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Paso 5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Paso 5.4

Reescribe $- 1 u^{4}$ como $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$