Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 2}{{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x - 4$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 2 + 2}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Suma $2$ y $2$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3

Combinar.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + 4)}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u + 8}{4 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 8}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Expande $(u + 8) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.6

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5.7

Reordena $u^{\frac{- 1}{2}}$ y $8 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int 8 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 8

Dado que $8$ es constante con respecto a $u$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (8 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 4$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Para escribir $2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Multiplica ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.1.1

Mueve ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 ({(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{1}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.2

Simplifica $2 {(2 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x - 4)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x - 8}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.6

Resta $8$ de $- 16$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.7

Factoriza $4$ de $4 x - 24$ .

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Paso 13.3.7.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x) - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.7.2

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.3.7.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot - 6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.4

Combinar.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.5

Cancela el factor común.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.6

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13.7

Multiplica $x - 6$ por $1$ .

$\frac{x - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$