Cálculo Ejemplos

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Expande ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ como $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.5

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.6

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.9

Suma $2$ y $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Paso 2.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

Paso 2.13

Suma $6 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 7

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $2$ y en $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Paso 11.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

Paso 11.3

Evalúa $4 x$ en $2$ y en $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4

Simplifica.

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Paso 11.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 11.4.3.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.3.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.5

Suma $\frac{32}{5}$ y $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.6

Combina $9$ y $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.7

Multiplica $9$ por $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.10

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 11.4.10.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.12

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.13

Combina $12$ y $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.14

Multiplica $12$ por $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.15

Cancela el factor común de $96$ y $3$ .

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Paso 11.4.15.1

Factoriza $3$ de $96$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.15.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.15.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.15.2.4

Divide $32$ por $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.16

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.17

Combina $32$ y $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.19

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.19.1

Multiplica $32$ por $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.19.2

Suma $288$ y $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.20

Multiplica $4$ por $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

Paso 11.4.21

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

Paso 11.4.22

Suma $8$ y $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

Paso 11.4.23

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

Paso 11.4.24

Combina $8$ y $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

Paso 11.4.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

Paso 11.4.26

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.26.1

Multiplica $8$ por $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

Paso 11.4.26.2

Suma $448$ y $40$ .

$π \frac{488}{5}$

Paso 11.4.27

Combina $π$ y $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

Paso 11.4.28

Mueve $488$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{488 π}{5}$

Forma decimal:

$306.61944299 \dots$

Paso 13