Cálculo Ejemplos

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Entonces $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , de modo que $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{7}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$