Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

Paso 2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{4}{4 + x^{2}}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Paso 6.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Paso 6.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

Paso 6.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Paso 7.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{π}{4}$

Paso 7.5

Combina $2$ y $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$

Paso 9