Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $3$ de $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.5

Combina $3$ y $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ y $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.7

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.8

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.10

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.11.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.11.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.12

Convierte de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ a $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (t)$ como $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (t)$ es $\csc^{2} (t)$ , la integral de $\csc^{2} (t)$ es $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Paso 8

Simplifica.

$- t - \cot (t) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$