Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Paso 1

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Paso 2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Paso 2.4

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u^{2}$ y $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Paso 9

Reescribe $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ como $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Paso 11.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Paso 11.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$