Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Paso 1

Sea $u = 4 + r^{2}$ . Entonces $d u = 2 r d r$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 + r^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + r^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4$ con respecto a $r$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 r$ .

$2 r$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ como $u - 4$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u - 4}$ como ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Expande $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 8

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $5$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Paso 10.2

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $5$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4

Simplifica la expresión.

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Paso 10.4.1

Simplifica.

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Paso 10.4.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.2

Simplifica.

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Paso 10.4.2.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.2.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.3

Simplifica.

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Paso 10.4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 10.4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 10.4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

Paso 10.4.3.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

Paso 10.4.5

Simplifica.

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Paso 10.4.5.1

Para escribir $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 10.4.5.2

Combina $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 10.4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 10.4.5.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Forma decimal:

$0.11584138 \dots$