Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ como $- u + 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- u + 1}$ como ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.2

Combina $- u$ y $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.3

Factoriza el negativo.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.8

Suma $2$ y $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 5.9

Multiplica $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Paso 14.2

Simplifica.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Combina ${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Paso 17.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Paso 17.2

Para escribir $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Paso 17.3

Para escribir $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Paso 17.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 17.4.1

Multiplica $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Paso 17.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Paso 17.4.3

Multiplica $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Paso 17.4.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Paso 17.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Paso 17.6

Simplifica el numerador.

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Paso 17.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Paso 17.6.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Paso 17.7

Factoriza $- 1$ de $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Paso 17.8

Factoriza $- 1$ de $5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Paso 17.9

Factoriza $- 1$ de $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Paso 17.10

Reescribe $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ como $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Paso 17.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Paso 17.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Paso 17.13

Multiplica $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ por $1$ .

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$