Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

Paso 3

Expande $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.9

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.10

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.11

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.13

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.15

Resta $3$ de $2$ .

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.16

Factoriza el negativo.

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.17

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.19

Resta $3$ de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.20

Factoriza el negativo.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.21

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.23

Resta $3$ de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.25

Multiplica $u^{- 3}$ por $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.26

Resta $u^{- 2}$ de $- u^{- 2}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Paso 3.27

Resta $3 u^{- 3}$ de $u^{- 3}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Paso 5

La integral de $u^{- 1}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Paso 10.1.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Paso 10.3

Reescribe $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ como $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

Paso 10.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

Paso 10.4.3

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$